2019-2020学年青海省西宁市大通回族土族自治县高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知命题p:nN，n21n1 212C．nN，nn1

2A．nN，n21n1，则命题p的否定p为（ ） 212B．nN，nn1

212D．nN，nn1

2【答案】A

【解析】根据全程命题的否定是特称命题，这一规则书写即可. 【详解】

全称命题“nN，n21n1”的否定为特称命题，故命题的否定为“nN，2n21n1”. 2故答案为A. 【点睛】

这个题目考查了全称命题的否定的写法，换量词否结论，不变条件.

2BAxx3x402．设集合，xylog12x，则AIB( ) D．0,4

A．1,4 【答案】D

B．0,1 C．1,4

【解析】先解不等式x23x40和求可. 【详解】

ylog1x的定义域,再由交集的定义求解即

2由题,因为x23x40,解得1x4,所以Ax|1x4, 由对数函数可得x0,所以Bx|x0, 所以AIB0,4, 故选:D 【点睛】

本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式,考查对数函数的定义域.

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3．若直线l1:3xy10与直线l2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（ ） A．30° 【答案】B

【解析】Qkl13kl23 l2的倾斜角为60°故选B

4．已知函数f(x)x(2017lnx)，若f'(x0)2018，则x0等于（ ） A．e2 【答案】B

【解析】分析：求出函数的导数，得到关于x0的方程，求出x0的值即可． 详解：f′（x）=2017+lnx+1=2018+lnx， 若f′（x0）=2018， 则2018+lnx0=2018， 解得：x0=1， 故选：B．

点睛：本题考查了导数的基本公式及运算法则，属于基础题. 5．“2a2”是“直线yxa与圆x2y24相交”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A

【解析】根据直线yxa与圆xy4相交求出实数a的取值范围，再利用充分

22B．60° C．120° D．150°

B．1

C．e

D．ln2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

条件和必要条件的定义可得出结论. 【详解】

若直线yxa与圆xy4相交，则22a22，即22a22，

22所以“2a2”是“直线yxa与圆xy4相交”的充分不必要条件.

故选：A. 【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系进行判断，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题.

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6．在VABC中，AsinAsinBπ，b＝2，其面积为23，则等于( )

ab3B．

A．

1 41 3C．

3 6D．

31 8【答案】A

【解析】先由三角形面积公式求出c，再由余弦定理得到a，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】

因为在VABC中，A所以2322π，b＝2，其面积为23， 31bcsinA，因此c4， 22所以abc2bccosA416224所以a23， 由正弦定理可得：

112， 2ab， sinAsinB31. 所以sinAsinBsinA2 aba234故选A 【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.

sincos4，则cos2（ ）

sin5cos24724A． B． C．

2525257．若【答案】A 【解析】QD．

7 25sincostan14,tan7.

sin5costan5cos2sin21tan224cos2. 222sincostan125本题选择A选项.

点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．

x2y238．已知椭圆C：221(ab0)的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直

ab3线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( )

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x2y2A．1

32【答案】A 【解析】【详解】

x2B．y21

3x2y2C．1

128x2y2D．1

124若△AF1B的周长为43, 由椭圆的定义可知4a43,a3, Qec3,c1, a3b22，

x2y2所以方程为1，故选A.

32【考点】椭圆方程及性质

9．若直线l:axby1与圆C:x2y21有两个不同的交点，则点P(a,b)圆C的位置关系是（ ） A．点在圆上 【答案】C

【解析】由直线l与圆C相交，转化为圆心到直线的距离小于半径，可得出a2b21，从而可判断出点P与圆C的位置关系. 【详解】

直线与圆相交，所以，圆心到直线的距离dr所以点在圆外，故选C. 【点睛】

本题考查点与圆的位置关系的判断，同时也考查了直线与圆的位置关系的判断，解题时要熟悉这两类问题的转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

10．已知双曲线C的对称中心为坐标原点，其中一个焦点坐标为2,0，且它的一条渐近线与圆x3y24相切，则双曲线C的实轴长为( ) A．5 2B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定

1ab221，所以a2b21，

B．

45 3C．25 D．

25 3第 4 页 共 16 页

【答案】B

x2y2【解析】由焦点坐标的位置可设双曲线C的方程为221,则一条渐近线方程为

abybx,由与圆相切可得dr,解得5b24a2,再由c2a2b24,即可求解. a【详解】

x2y2由题,因为焦点为2,0,设双曲线C的方程为221,

ab则一条渐近线方程为y2bx, a因为渐近线与圆x3y24相切,

所以d3ba1ba22r2,解得5b24a2,

因为c2a2b24,所以a22025,则a, 93所以实轴长为2a故选:B 【点睛】

45, 3本题考查求双曲线的实轴长,考查直线与圆的位置关系的应用.

11．若函数fx在R上可导，且fxxfx，则下列正确的是( ) A．f1fe C．ef1fe 【答案】D

B．ef1fe D．ef1fe

xfxfxfxfx【解析】由fxxfx可构造，即在0,02xxx上单调递增，由1e可得【详解】

由题,因为fxxfx，即xfxfx0，所以

f1fe，整理后即可判断选项. 1e第 5 页 共 16 页

fxxfxfx0， 2xx即

fx在0,上单调递增. x因为1e， 所以

f1fe，即ef1fe， 1e故选:D. 【点睛】

本题考查构造函数法利用导函数判断函数单调性,考查单调性的应用.

x2y212．设F1，F2分别为双曲线221a0,b0的左、右焦点，双曲线上存在一

ab点P使得PF1PF23b，PF1PF2A．

4 3B．

5 39ab，则该双曲线的离心率为（ ） 49C． D．3

4b4,进而a3【答案】B

【解析】根据双曲线的几何意义与题中所给的条件进行化简求解,从而得到求得离心率即可. 【详解】

x2y2因为P是双曲线221a0,b0上一点,所以PF1PF22a,

ab又PF1PF23b,所以PF1PF2所以4PF1PF29b4a.

22PF21PF229b24a2,

9bb又因为PF1PF2ab,所以有9ab9b24a2,即9940,即解得：

4aa2b1b4c2a2b225b42（舍去）,或,所以e2,所以112a3a3aa9a35e,

3故选：B. 【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的定义求解基本量之间的关系,进而求得离心率的方法,重点

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22在于根据题中所给的条件列出等式进行化简,属于中等题型.

二、填空题

213．若命题“x01,1，x03x0a0”为假命题，则实数a的取值范围是______.

【答案】,4

【解析】由原命题为假命题，则命题的否定为真命题，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围. 【详解】

2解：由题意，命题“x01,1，x03x0a0”为假命题，

则x1,1，x23xa0为真命题，令gxx3xa，则对x1,1，

2gx0恒成立，

因为gxx3xa的对称轴为x23，则gx在x1,1上单调递增， 2则只需g10即可，即4a0，解得a4，即a,4. 故答案为：,4. 【点睛】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.

14．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____．【答案】2,1 2【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离d>r,从而得解. 【详解】

∵圆的标准方程为(x)(y)∴圆心坐标（1221221k， 2111，），半径rk， 22222若点（1，﹣1）在圆xyxyk0外，

则满足(1)(1)＞k，且

122122121k＞0， 2第 7 页 共 16 页

即﹣2＜k＜，

12即实数k的取值范围是（﹣2，故答案为: （﹣2，【点睛】

1）. 21） 2本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.

ex15．函数f(x)的图象在点1,f1处的切线方程是_____________.

x1【答案】ex4ye0

【解析】首先求出f(x)在1处的导数，再求出f(x)在1处的函数值f1，然后用点斜式求出方程即可. 【详解】

fxxexx12，∴f1eeee且f1，切线方程是yx1，即4224ex4ye0．

【点睛】

本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.

x216．已知抛物线x2pyp0的焦点为F，其准线与双曲线y21相交于A，

22B两点.若ABF为直角三角形，则抛物线的准线方程为________. 【答案】y1

【解析】先求出准线方程为yp,代入双曲线方程可得A,B的坐标,再由ABF为直角22p,进而求解. 三角形,设AB中点为C,则CEAC,即p22【详解】

由题可知准线方程为yp, 2x2因为与双曲线y21相交于A,B,

2第 8 页 共 16 页

p2pp2p,,B为2,, 则A为22222因为ABF为直角三角形,由双曲线的对称性可得AFB90,

2p,解得p24,即p2, 设AB中点为C,则CEAC,即p22所以准线方程为y1, 故答案为:y1 【点睛】

本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.

三、解答题

17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知csinA2bsinC0，

a2b2c25ac. 5（1）求cosA的值； （2）若b5，求ABC的面积.

【答案】（1）5，（2）3. 5【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出

cosAbca2bc2225ac5 5ac5（2）根据b5及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求sinA,利用面积公式

1sbcsinA求解.

2

试题解析：（1）因为csinA2bsinC0，所以ac2bc，即a2b.

所以

cosAbca2bc2225ac5. 5ac5（2）因为b5，由（1）知a2b，所以a25. 第 9 页 共 16 页

由余弦定理可得(25)2(5)2c225c?(5)，整理得c22c150，解得5c3，

因为cosA525，所以sinA，

55125533. 25所以ABC的面积S18．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为23的菱形，23BAD60,PD平面ABCD，PD23,E是棱PD上的一个点，DE,F3为PC的中点.

（1）证明：BF//平面ACE； （2）求三棱锥FEAC的体积. 【答案】(1)见解析；（2）2.

【解析】（1）取PE的中点，连接BG,OE,FG，OE//BG，所以BG//平面AEC，

FG//平面AEC，所以BF//平面AEC；

（2）VFEACVBEACVEABC【详解】

（1）证明：连接BD，设BDACO，取PE的中点，连接BG,OE,FG， 在BDC中，因为O,E分别为BD,DG的中点，所以OE//BG， 又BG平面AEC，所以BG//平面AEC，

同理，在PEC中，FG//CE，FG平面AEC，CE平面AEC， 所以FG//平面AEC，因为BGIFGG，BG,FG平面BFG， 因为BF平面AEC，所以BF//平面AEC.

16323 2．323第 10 页 共 16 页

(2)由（1）知BF//平面AEC，所以VFEACVBEAC ， 又VFEACVBEAC，所以VFEACVEABC， 因为AC2ABsin6006,OB3,DE23， 3所以VFEACVEABC【点睛】

163232. 323本题考查线面平行的证明以及三棱锥体积的求法，线面平行的关键是在平面找到一条与已知直线平行的直线，也可以通过构造面面平行来证明线面平行，体积的计算注意选择合适的顶点与底面，本题属于中档题.

19．在等差数列an中，a3a412，公差d2，记数列a2n1的前n项和为Sn．（1）求Sn；

n（2）设数列的前n项和为Tn，若a2,a5,am成等比数列，求Tm．

an1Sn2【答案】（1）Sn2nn；（2）Tm14． 29【解析】（1）利用等差数列通项公式列出方程求出首项a11，由此能求出前n项和Sn.

（2）由a2,a5,am成等比数列，得m=14，再由

n1111，利用裂项求和法能求出Tm.

an1Sn2n12n122n12n1【详解】

（1）Q在等差数列an中，a3a412，公差d2，

(a122)(a132)＝12，

解得a11，

an1(n1)22n1． 数列{a2n1}的前n项和为Sn，

a2n12(2n1)14n3，

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{a2n1}是1为首项，4为公差的等差数列，

Snn14n32n2n

22（2）Qa2，a5，am成等比数列，a2ama5，

3(2m1)＝92，

解得m=14．

Qn1111，

an1Sn2n12n122n12n11111111111141L1． 233557272922929Tm＝T14Tm14 29【点睛】

本题考查（1）等差数列的判定和前n项和公式；（2）裂项相消法求和，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型. 20．已知函数fx13xx2a. 3（1）当a0时，求函数fx的极大值与极小值；

（2）若函数fx在1,3上的最大值是最小值的3倍，求a的值. 【答案】（1）fx的极大值为0,fx的极小值为24（2）2 3【解析】（1）先求导可得fxx2x，再利用导函数判断fx的单调性，进而求解；

（2）由（1）可得在1,3上fx的最小值为f242a，由f1a，33f3a，可得fx的最大值为f3a，进而根据fxmax3fxmin求解即可.

【详解】

解:（1）当a0时，fx213xx2， 3所以fxx2x，令fx0，则x0或x2，

则当x,0和x2,时，fx0；当x0,2时，fx0， 则fx在,0和2,上单调递增，在0,2上单调递减,

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所以fx的极大值为f00；fx的极小值为f2（2）由题,fx递增，

所以fx的最小值即为fx的极小值f2因为f14. 313xx2，由（1）可得fx在1,2上单调递减，在2,3上单调34a； 32a,f3a,所以fxmaxf3a， 34a， 3因为fxmax3fxmin，则a3所以a2. 【点睛】

本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力. 21．某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[2,22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，

[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图.

（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

2. 5【解析】分析：(1)先根据所有小长方形面积和为1得a,(2)根据分层抽样确定比例，根据比例确定抽样人数，（3）先利用枚举法确定总事件数，再确定2名销售员在同一组的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.

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详解：（1）∵ 0.020.080.092a41， ∴ a0.03， 完成年度任务的人数为2a420048. （2）第1组应抽取的人数为0.024252， 第2组应抽取的人数为0.084258， 第3组应抽取的人数为0.094259， 第4组应抽取的人数为0.034253， 第5组应抽取的人数为0.034253；

（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3；

从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，

A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事

件.

获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个， 故所求概率为

62. 155点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.

3x2y231,22．已知椭圆C:221ab0的离心率为，且C过点2.

ab2（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l与椭圆C交于P,Q两点（点P,Q均在第一象限），且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.

x2【答案】(1) y21;(2)见解析.

4【解析】试题分析：

（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于a,b,c的方程组，解得a,b,c后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线l的方程为ykxmm0，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线OP,OQ的斜率，再根据题意可得

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k2y2y1·，根据此式可求得k1，为定值． x2x12试题解析：

c3a2a2（1）由题意可得1，解得． 31b1a24b2222abcx2故椭圆C的方程为y21．

4（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxmm0，

ykxmy整理得14k2x28kmx4m210， 由x2，消去2y14∵直线l与椭圆交于两点， ∴64km1614k222m21164k2m210．

设点P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2，

4m218km则xx， ,x1x2122214k14k∴y1y2kx1mkx2mkx1x2kmx1x2m．

22∵直线OP,l,OQ的斜率成等比数列，

22kxxkmxxmyy1212∴k22·1，

x2x1x1x2整理得kmx1x2m0，

28k2m22∴m0， 214k又m0，所以k结合图象可知k点睛：

（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆

21， 41，故直线l的斜率为定值． 2锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、

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分类讨论思想的考查．

（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

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